Dijkstra算法

单源最短路径算法，可以一次性求出源点u到其他所有点的最短路径。

算法思路：

  1. 将所有顶点分为已访问和未访问两类，初始时只有源点u是已访问的。
  2. 从已访问过的结点中找出与源点距离最近的点t，再遍历该点的邻接点，如果邻接点未被访问过，则判断能否用t来更新这个点的最短路径，如果可以，更新邻接点的最短路径和前驱结点。遍历完t的邻接点后，设置t为已访问状态。
  3. 以上步骤重复n轮，即可完成全部点的最短距离和前驱c结点的更新。

为了实现Dijkstra算法，需要以下额外变量用以记录状态：

  1. dist数组：dist[i]表示顶点i到源点的最短距离，初始时只有源点和与源点直接相邻的点有数值，其他点为无穷大。
  2. visited数组：记录顶点是否被访问过。
  3. p数组：p[i]表示i到源点的最短路径上的前一跳，初始时只有源点和与源点直接相邻的点有数值，其他点为-1。

如果只需要求最短路径距离的值，不需要关注到底是哪一条路径，则可以省略p数组。

Dijkstra算法本质是贪心算法，每一步都是当前状态的最优解。

以下是朴素版本的Dijkstra算法实现：

#define MAXN 1005
#define INF 0x3f3f3f3f

int G[MAXN][MAXN];  // 邻接矩阵，G[u][v]表示顶点u到顶点v的距离，或者为INF，表示u、v之间不存在边
int n;              // 顶点数

int dist[MAXN];     // dist[i]表示顶点i到源点的最短距离，初始时只有源点和与源点直接相邻的点有数值，其他点为INF
int p[MAXN];        // p[i]表示i到源点的最短路径上的前一跳，初始时只有源点和与源点直接相邻的点有数值，其他点为-1
int visited[MAXN];  // 表示顶点i是否已访问过

void dijkstra(int u) { // 计算源点u到其他各点的最短距离
    // 初始化
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        visited[i] = false;
        dist[i] = G[u][i]; // 初始化源点到其他各顶点的距离，可能为INF
        p[i] = (dist[i] == INF ? -1 : u); // 与源点相邻，设置前驱结点为u，不相邻，设置前驱结点为-1
    }

    // 从源点u开始
    dist[u] = 0;
    visited[u] = true;

    // 对所有顶点进行松弛操作
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        // 找出剩余顶点中离源点最近的点
        int tmp = INF, t = u;
        for(int j = 0; j < n; j++) {
            if(!visited[j] && dist[j] < tmp) {
                t = j;
                tmp = dist[j];
            }
        }
        if(t == u) return;
        visited[t] = true;
        for(int j = 0; j < n; j++) { // 更新t的邻接点的最短路径长度，松弛操作
            if(G[t][j] != INF && !visited[j] && dist[j] > dist[t] + G[t][j]) {
                dist[j] = dist[t] + G[t][j];
                p[j] = t;
            }
        }
    }
}